Конечно элементные модели в напряжениях для задач плоской теории упругости

Рассмотрено решение плоских задач теории упругости на основе аппроксимации напряжений. Для построения решения используется функционал дополнительной энергии. При помощи принципа возможных перемещений составляются алгебраические уравнения равновесия узлов сетки конечных элементов. Уравнения равновесия включаются в функционал дополнительной энергии при помощи множителей Лагранжа. Получены необходимые соотношения для прямоугольных и треугольных конечных элементов. Рассмотрены варианты с постоянными и кусочно-постоянными аппроксимациями напряжений по области конечного элемента. Даны оценки ширины ленты системы линейных разрешающих уравнений. Выполнены расчеты на изгиб консольной балки и на растяжение пластины с отверстием при различных сетках конечных элементов. Выполнено сравнение полученных решений с решениями по методу конечных элементов в перемещениях и точными решениями. Показано, что для плоских задач теории упругости решения на основе аппроксимации напряжений позволяют получить сходимость перемещений к точным значениям сверху. При грубых сетках решения на основе кусочнопостоянных напряжений дает существенно более точные результаты, но требуют больших вычислительных затрат, так как ширина ленты ненулевых элементов разрешающей системы линейных алгебраических уравнений примерно в два раза больше, по сравнению с другими рассмотренными вариантами. Модели конечных элементов в напряжениях позволяют строить решения, альтернативные решениям, полученным методом конечных элементов в перемещениях.