Определение частот свободных колебаний методом конечных элементов в напряжениях

Актуальной является разработка метода расчета конструкций, позволяющего определять нижние границы частот свободных колебаний. Такие методы, в сочетании с решениями по методу конечных элементов в перемещениях, позволят дать оценку точности вычисленных значений частот свободных колебаний. В работе предлагается решение задачи определения частот свободных колебаний стержней постоянного сечения с различными опорами на концах методом конечных элементов в напряжениях. Методика основывается на сочетании функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений, используемого для построения уравнений равновесия. После дискретизации предметной области, решение задачи сводится к поиску минимума функционала дополнительной энергии деформации при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений равновесия. Уравнения равновесия, с учетом сил инерции, составляются для узлов сетки конечных элементов по направлениям осей координат и включаются в функционал при помощи множителей Лагранжа, которыми являются величины перемещений узлов. Рассматриваются два варианта аппроксимации изгибающих моментов по области конечного элемента: линейная и кусочнопостоянная. Форма свободных колебаний представляется в виде ломанной линии. По предложенной методике были выполнены расчеты первых трех частот свободных колебаний для стержней постоянного сечения с различными вариантами опирания концов. Выполнено сравнение расчетных величин первых трех частот свободных колебаний с точными значениями. Показано, что предлагаемый метод расчета позволяет получить противоположную, по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, границу значений для частот свободных колебаний.